Kovář platil za obrovský talent už v mládeži, kdy několik let rostl v Manchesteru United. Po sérii hostování v nižších anglických soutěžích však první pořádnou možnost na nejvyšší úrovni dostal v pražské Spartě. S tou se následně také radoval ze své první trofeje, když Letenští ovládli v ročníku 2022/23 českou ligu.
Po návratu do Anglie se dlouho řešila budoucnost českého brankáře, jenž následně za zhruba pět milionů eur zakotvil v německém Leverkusenu. A i tam se mu náramně dařilo, jelikož coby dvojka za finským gólmanem se slovenskými kořeny Lukášem Hrádeckým v sezoně 2023/24 získal double. Bayer totiž kromě Bundesligy ovládl i domácí pohár.
Následně Leverkusen uspěl i v německém Superpoháru a Kovářův počet titulů se tak rozrostl na čtyři. Na další triumf si ovšem musel počkat až do aktuálního ročníku, v němž hájí barvy nizozemského PSV. Tam je až do konce sezony oficiálně na hostování, podmínkou jeho trvalého přesunu je však především udržení v lize. A tato podmínka je ziskem titulu definitivně naplněna.
S PSV už Kovář zvítězil v nizozemském Superpoháru a ligovým ročníkem prochází eindhovenský klub suverénně. Stinnou stránkou ročníku je jen jeho účast v Lize mistrů, kde s osmi body těsně nepostoupil ze skupinové fáze, a vypadnutí z domácího poháru. Z něj ho po porážce 2:3 vyřadil Nijmegen.
Co se ale týče Eredivisie, tam PSV nemá konkurenci. V čele tabulky má pět kol před konce soutěže nedostižný sedmnáctibodový náskok na druhý Feyenoord. Po 29 kolech je tak oficiálně šampionem Nizozemska. Překonalo tím svůj rekord v časnosti korunovace mistrem, neboť nejdříve dosud opanovalo ročník 1977/78. A to 8. dubna. Rekord měli Eindhovenští možnost posunout ještě výrazněji, jenže v předcházejících dvou zápasech prohráli – a to i proti nováčkovi soutěže Telstaru (1:3).
Sám Kovář plní v PSV roli jedničky a v týmu jsou s ním spokojeni. Vydařené období navíc prožívá také v reprezentačním dresu. I díky jeho zákrokům a vychytaným penaltám Češi prošli v baráži přes Irsko a Dánsko až na mistrovství světa, které se letos v létě odehraje v USA, Kanadě a Mexiku.