El actual contrato del jugador de 26 años en Anfield finaliza al término de la temporada, y ambas partes llevan meses negociando.
Real Madrid se ha interesado anteriormente en el fichaje de Konaté, pero algunas actuaciones irregulares en la temporada han enfriado ese interés.
Según Fabrice Hawkins, de RMC Sport, el francés está más cerca que nunca de firmar un nuevo acuerdo con el Liverpool.
Se entiende que, aunque todavía no hay un acuerdo total, ahora se considera probable que Konate continúe en el club.
Se está trabajando en un contrato de cuatro o cinco años, y se espera que las conversaciones continúen después del partido de vuelta de cuartos de final de la Champions League entre Liverpool y PSG.